Він народився 17 травня 1943 року в Рассказово Тамбовської області, де провів дитинство і юність. У 1965 році Олександр Леньков закінчив студію при театрі ім. Моссовета (педагог Ю. А. Завадський) і був прийнятий в трупу МАДТ імені Моссовета. З цього часу був актором цього театру, знімався в кіно, виступав на телебаченні і радіо. Пізніше почав педагогічну діяльність у ВДІКу.

У 1964 році вперше знявся в кіно у фільмах «Дайте книгу скарг» і «Ключі від неба», які принесли йому широку популярність. Леньков також запам´ятався образами нескладних чоловіків-холостяків у фільмах «Зимова вишня» і «Маленька Віра». На радіо артист озвучив роль Андрія Олексійовича Азбучкіна в передачі для дітей «Весела абетка». У 2001 році передачі «КОАПП» і «Гасіть світло» за участю О. Ленькова отримали премію ТЕФІ.